Sau đây chúng ta thử làm quen với bài toán sau và vận dụng nó để giải một số bài toán khác.

Bài toán: Cho hình thang ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O. Hãy chứng tỏ rằng:
S_ABD = S_ABC; S_CDB = S_CDA; S_AOD = S_BOC
(ở đây ta kí hiệu: S là diện tích; S_ABD: đọc là diện tích tam giác ABD ...)

b) S_CDB = S_CDA (vì cùng chung đáy CD và có đường cao bằng đường cao của hình thang)

c) Vì S_ABD = S_ABC nên ta có: S_AOD + S_AOB = S_BOC + S_AOB
Suy ra: S_AOD = S_BOC (cùng bớt 2 vế đi S_AOB)

Bây giờ chúng ta vận dụng ba cặp tam giác có diện tích bằng nhau nói trên để giải bài toán sau:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC sao cho MB < MC. Qua M hãy kẻ một đường thẳng chia diện tích tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Giải: Vì MB < MC, khi đó ta có S_AMB < S_AMC nên đường thẳng cần kẻ phải cắt cạnh AC của tam giác ABC.

Thật vậy: Tứ giác ANOM là hình thang nên S_AIN = S_MIO.

Mặt khác:
S_AOC = 1/2. S_ABC = S_AIN + S_COIN = S_MIO + S_COIN = S_CMN

Cách 2: Qua đỉnh B kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC kéo dài tại D. Gọi N là điểm chính giữa của đoạn thẳng CD. Đường thẳng qua M, N là đường thẳng cần kẻ. (hình 3)

Thật vậy: Ta có tứ giác AMBD là hình thang nên
S_ABM = S_ADM suy ra S_ABC = S_DMC = S_AMC + S_AMD và vì M là điểm chính giữa của CD nên
S_DMN = S_CMN = 1/2. S_ABC

Các bạn có thể giải được các bài toán sau đây không?

Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD. Hãy tìm điểm M trên cạnh của tứ giác ABCD sao cho khi nối AM thì đoạn thẳng AM chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm bất kì trên BC, qua M hãy kẻ 1 đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích phần này gấp 4 lần phần kia.

Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M là điểm bất kì trên AB. Tìm điểm N trên cạnh của tứ giác để khi nối M với N thì đoạn MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Lê Trọng Châu
(Giáo viên Trường THCS Bình Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh)